4.2. EXEMPLES D'ESPACES MÉTRIQUES COMPLETS
Proposition 4.4 Soient E un espace vectoriel sur lR de dimension p (p E N*)
et (e1, e2, · · · , ep) une base de E. On considère 11·11 00 la norme définie sur E
par:
Vx E E, llxlloo = max{lx1I, lx2J, · · · lxpj},
où (xi, x2, · · · , Xp) sont les coordonnées de x dans la base (e1, e2, · · · , ep)·
L'espace vectoriel normé (E, 11·11 00 ) est un espace vectoriel normé complet.
43
On montre, dans la section 12.4 du chapitre 12 à partir de la page 164, la proposition suivante
Proposition 4.5 Tout espace vectoriel réel normé de dimension finie est complet.
Remarque 4.1 L'ensemble des nombres rationnels Q>, muni de la distance induite, n'est pas un espace métrique complet. Pour la preuve, on pourra s'appuyer
sur la solution de l'exercice 7.3, page 75.
4.2.2 Espace fonctionnel
Proposition 4.6 On considère X un ensemble non vide, (E, li.li) un espace
vectoriel réel normé et B(X, E) l'espace vectoriel des fonctions bornées, définies
sur X et à valeurs dans E. On munit B(X, E) de la norme ll·lloo définie par
Vf E B(X,E), llflloo = sup llf(x)ll·
xEX
Si l'espace vectoriel normé (E, li.li) est complet, alors l'espace (B(X,E), ll·lloo)
est aussi complet.
Preuve. Remarque: Nous savons, d'après l'exercice 2.1. page 21, que l'application
ll·lloo est une norme sur B(X, E).
Considérons Un)nEN une suite de Cauchy de B(X, E).
Vx E E, Vn EN, Vp EN, llfn(x) - fp(x)ll ~ llfn - fplloo·
On en déduit que, pour tout élément x de X, la suite Un(x))nEN est une suite
d'éléments de E, de Cauchy donc convergente dans E. On note f l'application
définie sur X par
VxEX, f(x) = lim fn(x).
n-->+oo
Montrons que f est une application bornée. L'application qui, à un vecteur associe
sa norme, étant continue (proposition 3.2, page 32), on obtient,
Vx EX, lim llfn(x)ll = llf(x)ll·
n-->+oo
La suite Un)nEN étant de Cauchy est bornée. Considérons un réel M vérifiant
Vn EN, llfnlloo ~M.
Proposition 4.4 Soient E un espace vectoriel sur lR de dimension p (p E N*)
et (e1, e2, · · · , ep) une base de E. On considère 11·11 00 la norme définie sur E
par:
Vx E E, llxlloo = max{lx1I, lx2J, · · · lxpj},
où (xi, x2, · · · , Xp) sont les coordonnées de x dans la base (e1, e2, · · · , ep)·
L'espace vectoriel normé (E, 11·11 00 ) est un espace vectoriel normé complet.
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On montre, dans la section 12.4 du chapitre 12 à partir de la page 164, la proposition suivante
Proposition 4.5 Tout espace vectoriel réel normé de dimension finie est complet.
Remarque 4.1 L'ensemble des nombres rationnels Q>, muni de la distance induite, n'est pas un espace métrique complet. Pour la preuve, on pourra s'appuyer
sur la solution de l'exercice 7.3, page 75.
4.2.2 Espace fonctionnel
Proposition 4.6 On considère X un ensemble non vide, (E, li.li) un espace
vectoriel réel normé et B(X, E) l'espace vectoriel des fonctions bornées, définies
sur X et à valeurs dans E. On munit B(X, E) de la norme ll·lloo définie par
Vf E B(X,E), llflloo = sup llf(x)ll·
xEX
Si l'espace vectoriel normé (E, li.li) est complet, alors l'espace (B(X,E), ll·lloo)
est aussi complet.
Preuve. Remarque: Nous savons, d'après l'exercice 2.1. page 21, que l'application
ll·lloo est une norme sur B(X, E).
Considérons Un)nEN une suite de Cauchy de B(X, E).
Vx E E, Vn EN, Vp EN, llfn(x) - fp(x)ll ~ llfn - fplloo·
On en déduit que, pour tout élément x de X, la suite Un(x))nEN est une suite
d'éléments de E, de Cauchy donc convergente dans E. On note f l'application
définie sur X par
VxEX, f(x) = lim fn(x).
n-->+oo
Montrons que f est une application bornée. L'application qui, à un vecteur associe
sa norme, étant continue (proposition 3.2, page 32), on obtient,
Vx EX, lim llfn(x)ll = llf(x)ll·
n-->+oo
La suite Un)nEN étant de Cauchy est bornée. Considérons un réel M vérifiant
Vn EN, llfnlloo ~M.