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ESPACES MÉTRIQUES COMPLETS
Nous obtenons
La suite ( Un)nElll est ainsi bornée.
4.1.2 Espaces métriques complets
Il
Définition : On dit qu'un espace métrique (E, d) est complet si toute
suite de Cauchy est convergente.
4.2 Exemples d'espaces métriques complets
4.2.1 Espaces vectoriels normés de dimension finie
On admettra que IR, muni de la norme usuelle, est complet.
Théorème admis 4.2 lR muni de la norme usuelle est un espace métrique
complet.
Ce pavé étant admis, on pourra en déduire
Proposition 4.3 Les espaces JRP (p EN*) munis de la norme 11·11 00 sont complets.
Preuve. On considère dans JRP muni de la norme 11·11 00 , une suite de Cauchy notée
(Xn)nElll = ( (x1,n, x2,n, · · · , Xp,n) )nElll' Montrons que cette suite est convergente.
Ona
'Vk E {1, .. ·p},V(n,m) E N 2 , lxk,n -Xk,ml :S llXn-Xmlloo·
La suite (Xn)nElll étant de Cauchy, on en déduit que pour tout entier k compris
entre 1 et p, la suite réelle (xk,n)nElll est une suite de Cauchy, donc convergente
vers un réel lk. Montrons que la suite (Xn)nElll converge vers L = (li, l2, · · · , lv)·
Soit c un réel strictement positif. Pour tout entier k compris entre 1 et p,
3Nk E N/ \ln 2: Nk, lxk,n - lkl < c.
Soit N=max{N1,N2,··· ,Np}· Ona,
\ln 2: N, Vk E {1, 2, · · · ,p}, lxk,n - lkl < €.
D'où
\ln 2: N, llXn - Llloo < €.
La suite (Xn)nElll converge vers L. (JRP, Jl.Jl 00 ) est donc un e.v.n. complet.
On peut montrer de la même manière la proposition suivante.