Chapitre 4
Espaces métriques complets
4.1 Définitions
4.1.1 Suites de Cauchy
Définition : Soient (E, d) un espace métrique et (un)nEN une suite de
points de E. On dit que (un)nEN est une suite de Cauchy si
Vé > 0, 3N EN, \:/p 2 N, \:/q 2 N, d(up, uq) < é.
Proposition 4.1
1. Une suite convergente est une suite de Cauchy.
2. Une suite de Cauchy est bornée.
Preuve.
1. On considère une suite (un)nEN convergente vers l, élément de E. Soit é un
réel strictement positif. Il existe un entier positif N vérifiant
\:/n 2 N, d(un, l) < é.
D'où,
\:/p 2 N, \:/q 2 N, d(up, uq) ~ d(up, l) + d(l, uq) < 2é.
La suite ( un)nEN est une suite de Cauchy.
2. On considère une suite (un)nEN de Cauchy. Il existe un entier naturel N tel
que,
Notons,