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CONTINUITÉ ET LIMITE DANS LES ESPACES MÉTRIQUES
Corollaire 3.14 L'ensemble des applications continues sur A à valeurs dans
E est un sous-espace vectoriel de (A(A, E), +,.).
Exercice 3.6 Soient f et g deux applications définies et continues sur JR à valeurs
réelles.
1. Montrer que l'application lfl est continue sur R
2. Montrer que les applications max(f,g) et min(f,g) sont continues sur R
Solution.
1. L'application valeur absolue est continue sur IR, d'après la proposition 3.2
page 32. L'application lfl est continue comme composée de deux applications
continues.
2. On obtient le résultat en remarquant que
(f )
f + g + If - YI
max ,g =
2
,
min(!, g) = f + g ~If - YI.
Exercice 3. 7 Soit f une application définie sur JR et à valeurs réelles. On appelle
épigraphe de f, noté &1 1 l'ensemble
&1 = {(x,y) E IR 2 , /y;::: f(x).}
Montrer que si l'application f est continue sur JR, son épigraphe est une partie fermée
de JR. 2 •
Solution. Soit g l'application définie sur JR. 2 par
g :
JR.2
---t
JR
(x,y) ~ y-f(x).
L'application g est continue sur JR. 2 . On en déduit que
est une partie fermée de JR. 2 .