3.6. APPLICATIONS À VALEURS DANS UN ESPACE VECTORIEL NORMÉ
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Définition : Dans l'ensemble A(A', E), on définit
1. Une loi de composition interne notée + : pour tout couple (!, g)
de A(A', E), on définit(!+ g), l'élément de A(A', E) par:
\lx E A', (! + g)(x) = f(x) + g(x).
2. Une loi de composition externe, notée . : pour tout élément f de
A(A',E) et tout scalaire À, on définit Àf, l'élément de A(A',E)
par:
\lx E A', Àf(x) = À.f(x).
Proposition 3.10 L'ensemble A(A', E) muni des lois + et . est un espace
vectoriel sur OC.
On munit désormais E d'une norme.
Proposition 3.11 On considère (A,d) un espace métrique, (E, ll·ID un espace
vectoriel normé, A' une partie non vide de A et a un élément de A adhérent à
A'. Si f et g sont deux applications définies sur A' à valeurs dans E admettant
une limite en a, alors pour tous scalaires À et>.', l'application Àf + >.' g admet
À lim f + À 1 lim g
a
a
pour limite en a.
Preuve. Soit c un réel strictement positif.
3ao > 0, /\lx E A', d(x,a) < ao::::} llf(x) - limfll < c,
a
3a1 > 0, /\lx E A', d(x,a) < Œ1::::} llg(x) - limgll < c,
a
Soit Œ2 = min { ao, ai}. On obtient, pour tout élément x de A' vérifiant d( x, a) <
Œ2,
11(>.f(x) + >.'g(x)) - (Àlimf + >.' limg)ll::::; l>.111/(x) - limfll + l>.'l·llg(x) - limgll
a
a
a
a
::::; (l>.I + l>.'l)c < (l>.I + 1>.'I + l)c.
Ceci prouve que l'application (Àf + >.' g) admet pour limite (À lima f +>.'lima g)
lorsque x tend vers a.
4't
Corollaire 3.12 L'ensemble des applications définies sur A', à valeurs dans
E, admettant une limite en a est un sous-espace vectoriel de (A(A', E), +, .).
Corollaire 3.13 L'ensemble des applications définies sur A, à valeurs dans
E, continues en un point a de A est un sous-espace vectoriel de (A(A, E), +, .).