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CONTINUITÉ ET LIMITE DANS LES ESPACES MÉTRIQUES
L'application I étant continue en x, il existe un réel a strictement positif
vérifiant
Vy E E, d(x, y) d'(f(x), l(y)) < r.
On en déduit que
l(B(x,a)) c B'(J(x),r) c O.
et
Cette dernière partie est ainsi un ouvert de E.
2. 2 => 1
Considérons un élément a de E et montrons que I est continue en a. Soit
e un réel strictement positif. La boule B' (! (a), e) est un ouvert de E', donc
1- 1 [B'(f(a),e)] est un ouvert de E contenant a. Il existe un réel a strictement positif tel que
B(a,a) c 1- 1 [B 1 (f(a),e)].
On en déduit que
Vx E B(a,a), l(x) E B'(J(a),e).
Ainsi,
Vx E E, d(a, x) d'(f(a), l(x)) < e.
On en déduit que I est continue en a, puis sur E.
3. 2 {::} 3
Il suffit d'utiliser les complémentaires puisque, si A est une partie de E', on
a
Corollaire 3. 9 Soient ( E, d), ( E', d') et ( E", d") trois espaces métriques et
deux applications I : E --t E' et g : E' --t E". Si I est continue sur E et g est
continue sur E' alors l'application go I est continue sur E.
3.6 Applications à valeurs dans un espace
vectoriel normé
Dans cette section, on considère (A, d) un espace métrique, (E, +,.)un espace
vectoriel sur JK( = ~ ou C) et A' une partie non vide de A.
Notation : On note
A(A', E)
l'ensemble des applications définies sur A' à valeurs dans E.