3.5. CARACTÉRISATION TOPOLOGIQUE DE LA CONTINUITÉ
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D'après l'exercice 2.3, page 25, la suite (bn)neN est convergente vers x 0 • La suite
(f(bn))nEN est donc convergente vers un élément de E' que l'on note h. Les suites
(J(an))neN et (f(a~))neN étant des suites extraites de la suite (f(bn))neN, elles
sont convergentes vers lb. Nous obtenons,
D'où l = l'. Nous avons montré en utilisant la proposition 3.5 que l'application f
admet l pour limite en xo.
4'
3.4.2 Caractérisation séquentielle de la continuité
Proposition 3.7 Soient (E,d) et (E',d') deux espaces métriques et f: E---+
E' une application. On considère a un élément de E. L'application f est continue en a si et seulement si pour toute suite (an)neN de E convergente vers a,
la suite (f(an))neN converge vers f(a).
Preuve. Il suffit d'appliquer les propositions 3.4 et 3.5.
3.5 Caractérisation topologique de la continuité
Définition : Soit f : E ---+ E' une application et A une partie de E'. On
appelle image réciproque par f de A, notée f- 1 (A), l'ensemble
f- 1 (A) = {x E E/f(x) E A}.
Proposition 3.8 Soit f : (E, d) ---+ (E', d') une application; Les trois assertions suivantes sont équivalentes :
1. f est continue sur E.
2. Pour tout ouvert(} de E', f- 1 (B) est un ouvert de E.
3. Pour tout fermé F de E', f- 1 (F)est un fermé de E.
Preuve. On notera B les boules ouvertes de l'espace métrique (E, d) et B' celles
de l'espace métrique ( E', d')
1. 1=}2
On considère(} un ouvert de E'. Soit x un élément de f- 1 (B). f(x) étant un
élément de (}, il existe un réel r strictement positif tel que
B'(f(x),r) c B.