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CONTINUITÉ ET LIMITE DANS LES ESPACES MÉTRIQUES
Pour tout entier naturel n, choisissons un élément an de A vérifiant
On vient de construire une suite (an)nEJ\I d'éléments de A convergente vers
xo, mais la suite (f(an))nEN ne converge pas vers l. Ce qui termine la preuve .
. .
Exercice 3.5 On considère l'application f définie sur Ill* par
'r/x E Ill*, f(x) =cos(~).
Montrer que cette application n'admet pas de limite en O.
Solution. La suite ( n~ )nEJ\I* est une suite convergente vers O. Or
La suite (!( n~) )nEJ\I* est divergente. On en déduit que l'application f n'admet pas
de limite en O.
-"
Proposition 3.6 Soient (E,d) et (E',d') deux espaces métriques, A une partie de E et f : A - t E' une application. On considère Xo un élément de E
appartenant à l'adhérence de A. Si pour toute suite (an)nEJ\I d'éléments de A
convergente vers xo, la suite (f(an))nEN est convergente, alors l'application f
admet une limite lorsque x tend vers xo.
Preuve. Considérons une suite (an)nEJ\I d'éléments de A convergente vers xo. Soit
l la limite de la suite (f(an))nEJ\I :
lim f(an) = l.
n->+oo
Montrons que, pour toute suite (a~)nEJ\I d'éléments de A convergente vers x0 , la
suite (f(a~))nEJ\I converge également vers l. Par hypothèse, nous savons que la
suite (f(a~))nEJ\I est convergente. Notons l' sa limite :
lim f(a~) = l'.
n->+oo
Montrons quel = l'. Construisons pour cela la suite (bn)nEJ\I d'élements de A de
la façon suivante,
'r/n E N,