3.4. CARACTÉRISATION SÉQUENTIELLE DE LA LIMITE ET DE LA CONTINUITÉ 35
a étant un élément de E l'ensemble de définition et d(a, a) étant nul, on obtient
Vê > 0, d'(f(a), l) < ê.
On en déduit que
l = f(a).
En remplaçant l par f(a), on obtient
Vê > 0, :la> 0 Vx E E, d(a, x) d'(f(x), f(a)) < ê.
L'application f est ainsi continue en a.
La réciproque est évidente.
3.4 Caractérisation séquentielle de la limite
et de la continuité
3.4.1 Caractérisation séquentielle de la limite
Cette proposition, comme la proposition 3.7, sont importantes. Elles indiquent
que, pour tout problème de limite ou de continuité, on peut travailler, soit avec
les ê, soit avec les suites.
Proposition 3.5 Soient (E, d) et (E', d') deux espaces métriques, A une partie de E et f : A --+ E' une application. On considère xo un élément de E
appartenant à l'adhérence de A et l un élément de E'. L 'application f admet
pour limite l lorsque x tend vers xo si et seulement si pour toute suite (an)nEN
d'éléments de A convergente vers Xo, la suite (f(an))nEN converge vers l.
Preuve.
1. Supposons que f admette l pour limite lorsque x tend vers xo.
On considère une suite (an)nEN d'éléments de A convergente vers xo. Montrons que la suite (f(an))nEN est convergente vers l. Soit ê un réel strictement
positif :
:la> 0, Vx E A, d(x, xo) d'(f(x), l) < ê.
La suite (an)nEN étant convergente vers xo,
On en déduit que
Vn 2: no, d'(f(an), l) < ê.
La suite (f(an))nEN converge vers l.
2. Supposons que f n'admette pas l pour limite lorsque x tend vers xo.
C'est-à-dire,
:lé> 0, Va> 0, 3x E A/ d(xo, x)