34
CONTINUITÉ ET LIMITE DANS LES ESPACES MÉTRIQUES
d'une limite en chaque point de l'adhérence de l'intervalle ]a, b[, c'est-à-dire sur le
segment [a, b].
Définition : Soient (E, d) et (E', d') deux espaces métriques, A une
partie de E et f : A - t E' une application. On considère x0 un élément
de E appartenant à l'adhérence de A et l un élément de E'. On dit que
f admet l pour limite lorsque x tend vers xo si
Ve> 0,3a > 0 Vx E A, d(xo,x) d'(f(x),l) < e.
Proposition 3.3 Soient (E, d) et (E', d') deux espaces métriques, A une partie de E et f : A - t E' une application. On considère Xo un élément de E
appartenant à l'adhérence de A. Si l'application f admet une limite en x 0 ,
celle-ci est unique et on la note
lim f (x).
X---+Xo
Preuve. Supposons que l et l' deux éléments de E' soient limite de l'application
f en un point xo adhérent à la partie A. Soit e un réel strictement positif. D'après
la définition de la limite, on peut trouver deux réels strictement positifs ai et a 2
vérifiant,
Vx E A, d(xo, x) d'(J(x), li) < e,
Vx E A, d(xo, x) < a2 => d' (f (x ), l2) < e.
Considérons un élément a de A vérifiant d( xo, a) < min {ai, a 2 }. Il existe un tel
élément car xo étant adhérent à A, on a d(xo, A)= O. Nous obtenons,
d' (li, l2) :::; d' (li, f (a)) + d' (!(a), l2) < 2e.
On en déduit que d(l, l') = 0 et l'unicité de la limite.
3.3.1 Continuité et limite
Proposition 3.4 Soient (E,d) et (E',d') deux espaces métriques, f: E - t E'
une application et a un élément de E. L'application f est continue en a si et
seulement si f admet une limite en a. On a alors
lim f(x) = f(a).
x-+a
Preuve. Supposons que f admette en a une limite notée l( E E'). D'après la
définition de la limite
Ve> 0,3a > 0 Vx E E, d(a,x) d'(J(x),l) < e.