3.3. LIMITE D'UNE FONCTION EN UN POINT
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Exercice 3.4 On considère (E, d), (E', d') deux espaces métriques et f une application définie et continue sur E, à valeurs dans E'. On considère également l'espace
E x E muni de la métrique produit (proposition 1.5 page 5) que l'on notera dprod·
Montrer que l'application h, définie sur E x E par
h : E X E ----+ JR.+
(x,y) ~ d'(f(x),f(y)).
est une application continue sur E x E.
Solution. On considère (xo, Yo) un élément de Ex E. Montrons que h est continue
en (xo, Yo). Pour tout couple (x, y) de E, nous avons
d' (f (xo), f (yo)) ::; d' (f (xo), f (x)) + d' (f (x ), f (y)) + d' (!(y), f (yo) ).
Ainsi,
d'(f(xo), f(Yo)) - d'(f(x), f(y))::; d'(f(xo), f(x)) + d'(f(y), f(Yo)).
De même,
d'(f(x), f(y)) - d'(f(xo), f(yo)) ::; d'(f(xo), f(x)) + d'(f(y), f(yo)).
On en déduit que
Id' (f (xo), f (yo)) - d' (f (x ), f (y))I ::; d' (f (xo), f (x)) + d' (!(y), f (yo) ).
Soit c un réel strictement positif. L'application f étant continue en Xo et Yo, il
existe deux réels strictement positifs ax 0 et ay 0 vérifiant
\:/x E E, d(xo, x) ::; ax 0 ::::} d' (f (xo), f (x)) ::; c,
\:/y E E, d(yo, y) ::; ay 0 ::::} d'(f(yo), f(y)) ::; c.
On définit le réel strictement positif ao par ao = min { ax 0 , ay 0 }. Ainsi,
\:/(x, y) E ExE, doo((xo, Yo), (x, y)) ::; ao::::} ld'(f(xo), f(yo)) - d'(f(x), f(y))I ::; 2c.
On en conclut que h est continue en (xo, Yo), puis sur Ex E.
3.3 Limite d'une fonction en un point
Nous savons que l'étude de la continuité d'une fonction peut s'effectuer en tout
point de son ensemble de définition. Nous allons voir, dans cette section, que l'étude
de l'existence d'une limite d'une fonction peut s'effectuer non seulement en tout
point de l'ensemble de définition mais, également, en tout point de son adhérence.
Par exemple, si une fonction f est définie sur un intervalle ]a, b[, l'étude de la
continuité se fait en chaque point de ]a, b[. En revanche, on peut étudier l'existence
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Exercice 3.4 On considère (E, d), (E', d') deux espaces métriques et f une application définie et continue sur E, à valeurs dans E'. On considère également l'espace
E x E muni de la métrique produit (proposition 1.5 page 5) que l'on notera dprod·
Montrer que l'application h, définie sur E x E par
h : E X E ----+ JR.+
(x,y) ~ d'(f(x),f(y)).
est une application continue sur E x E.
Solution. On considère (xo, Yo) un élément de Ex E. Montrons que h est continue
en (xo, Yo). Pour tout couple (x, y) de E, nous avons
d' (f (xo), f (yo)) ::; d' (f (xo), f (x)) + d' (f (x ), f (y)) + d' (!(y), f (yo) ).
Ainsi,
d'(f(xo), f(Yo)) - d'(f(x), f(y))::; d'(f(xo), f(x)) + d'(f(y), f(Yo)).
De même,
d'(f(x), f(y)) - d'(f(xo), f(yo)) ::; d'(f(xo), f(x)) + d'(f(y), f(yo)).
On en déduit que
Id' (f (xo), f (yo)) - d' (f (x ), f (y))I ::; d' (f (xo), f (x)) + d' (!(y), f (yo) ).
Soit c un réel strictement positif. L'application f étant continue en Xo et Yo, il
existe deux réels strictement positifs ax 0 et ay 0 vérifiant
\:/x E E, d(xo, x) ::; ax 0 ::::} d' (f (xo), f (x)) ::; c,
\:/y E E, d(yo, y) ::; ay 0 ::::} d'(f(yo), f(y)) ::; c.
On définit le réel strictement positif ao par ao = min { ax 0 , ay 0 }. Ainsi,
\:/(x, y) E ExE, doo((xo, Yo), (x, y)) ::; ao::::} ld'(f(xo), f(yo)) - d'(f(x), f(y))I ::; 2c.
On en conclut que h est continue en (xo, Yo), puis sur Ex E.
3.3 Limite d'une fonction en un point
Nous savons que l'étude de la continuité d'une fonction peut s'effectuer en tout
point de son ensemble de définition. Nous allons voir, dans cette section, que l'étude
de l'existence d'une limite d'une fonction peut s'effectuer non seulement en tout
point de l'ensemble de définition mais, également, en tout point de son adhérence.
Par exemple, si une fonction f est définie sur un intervalle ]a, b[, l'étude de la
continuité se fait en chaque point de ]a, b[. En revanche, on peut étudier l'existence