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CONTINUITÉ ET LIMITE DANS LES ESPACES MÉTRIQUES
De même, on a,
d(a,y) ~ d(a,x) +d(x,y)
d'où,
-d(x,y) ~ d(a,x)- d(a,y).
Le réel d(x, y) étant positif, on en déduit
ld(a,x) - d(a,y)I ~ d(x,y).
L'application f est lipschitzienne de rapport 1.
Proposition 3.2 Soit (E, li.li) un espace vectoriel normé. L'application
E --t JR+
x~ llxll
est lipschitzienne de rapport 1 donc uniformément continue sur E.
Preuve. Il suffit d'utiliser le résultat précédent en prenant a = O.
Exercice 3.3 On considère (E, d) un espace métrique et l'espace E x E muni de la
métrique produit (proposition 1.5 page 5) que l'on notera dprod· Montrer que l'application g définie sur E x E par
g: EX E ~ JR+
(x, y) t-----t d(x, y).
est une application lipschitzienne.
Solution. Soient (x,y) et (x',y') deux éléments de Ex E. Nous avons
d(x, y) ~ d(x, x') + d(x', y')+ d(y', y).
Ainsi,
d(x, y) - d(x', y')~ d(x, x') + d(y', y).
De même,
d(x', y') - d(x, y) ~ d(x, x') + d(y', y).
On en déduit que
ld(x, y) - d(x', y')I ~ d(x, x') + d(y', y) ~ 2.dprod((x, y), (x', y')).
L'application g est lipschitzienne de rapport 2.