3.2. CONTINUITÉ UNIFORME SUR UN ESPACE MÉTRIQUE
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3.2 Continuité uniforme sur un espace métrique
Définition : Une application f : (E, d) ---+ (E', d') est uniformément
continue sur E si
Vé > 0, :la> 0, V(x, y) E E 2 , d(x, y)< a::::} d'(f(x), f(y)) < é.
Voici une catégorie importante de fonctions uniformément continues : les fonctions lipschitziennes.
Définition :
1. Soit k E JR+*. On dit que f : (E, d) ---+ (E', d') est k-lipschitzienne
si
V(x,y) E E 2 , d'(f(x),f(y):::; kd(x,y).
2. On dit que f est contractante si f est k-lipschitzienne, avec k < 1.
Exemple : On peut vérifier, grâce à l'inégalité des accroissements finis, que toute
fonction définie sur un intervalle I, à valeurs réelles, dérivable sur I et de dérivée
bornée sur I, est lipschitzienne sur I.
Proposition 3.1 Une application définie sur E, lipschitzienne, est uniformément continue sur E.
Preuve. Pour un réel strictement positif donné é, il suffit de choisir a= f. .ft
Exercice 3.2 Soit (E, d) un espace métrique et a un élément de E. Montrer que
l'application f définie sur E par
f : E ----+ JR+
X f----+ d( a, X)
est une application lipschitzienne de rapport 1.
Solution. Soient x et y deux éléments de E. D'après l'inégalité triangulaire,
d(a, x) :::; d(a, y)+ d(y, x),
d'où,
d(a,x) - d(a,y):::; d(y,x).