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CONTINUITÉ ET LIMITE DANS LES ESPACES MÉTRIQUES
Définition :Soient (E, d) et (E', d') deux espaces métriques, f: E - t E'
une application. On dit que f est continue sur E si f est continue en
tout point de E.
Exemple : L'application f définie dans l'exemple précédent est continue sur JR+.
Définition : Soient ( E, d), ( E', d') deux espaces métriques et une application f : E - t E'. On dit que f est un homéomorphisme si f est
bijective, continue et si f- 1 est continue. On dit alors que (E, d) et
(E', d') sont homéomorphes.
Exercice 3.1 On considère la fonction f définie sur JR* par
\lx E :IR*,
1
f(x) = -.
X
Montrer que f est continue sur JR*.
Solution. Soit a un réel non nul. Montrons que f est continue en ce point. On
considère c un réel strictement positif. Prenons
. {lai rn 2 }
a=mm 2 , 2
Soit x un réel vérifiant lx - al :::; a. L'inégalité
lai :::; lxl + la - xi
entraîne
lxl ; : : : : lai - lx - al ; : : : : l~I.
Ainsi,
\lx E :IR*, lx - al < a =} 1 _!. - _!. I = lx - al :::; 2lx - al < c.
x
a
laxl
a 2
L'application f est continue en tout point a de JR* donc sur JR*.
Remarque 3.2 On remarque que dans l'exercice précédent, pour chaque réel
strictement positif c, le réel a proposé dépend de la valeur du réel a. Lorsque
l'on fait l'étude de la continuité d'une application définie sur un espace métrique
( E, d), si, pour chaque c, le choix de a peut être indépendant de l'élément de E
choisi, on dit que la fonction est uniformément continue sur E. Voici la définition
dans la section suivante.