Chapitre 3
Continuité et limite
dans les espaces métriques
3.1 Continuité ponctuelle, continuité
sur un espace métrique
Définition: Soient (E, d) et (E', d') deux espaces métriques, f: E---+ E'
une application et a un élément de E. On dit que f est continue en a si
Vé > 0, :la> 0 ' Remarque 3.1 Les deux dernières inégalités peuvent être strictes ou larges. Il en
sera de même pour les définitions données dans les sections 3.2 et 3.3.
Exemple : On considère f l'application définie sur R+ par
Soit a un réel strictement positif. Montrons que f est continue en a. On a,
' lx - al
y X ya
. r;;;
r;; ~
r::: .
vx+va
ya
Pour un réel é strictement positif fixé, on peut choisir a= éy'a. L'application est
ainsi continue en a.
Je laisse le soin au lecteur de montrer que l'application f est continue en O.