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ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES SCALAIRES D'ORDRE DEUX
Solution. Nous nous plaçons sur l'intervalle I égal à JR+* ou JR-*. Recherchons
des solutions de l'équation différentielle homogène de la forme !a : x f--+ xo: où a
est un réel. Une telle application est solution de l'équation différentielle homogène
si et seulement si
' Cette application est solution si et seulement si
a 2 -3a+ 2 = 0
c'est-à-dire si et seulement si a = 1 ou a = 2. Après avoir vérifié que la famille
(/1, /2) est une famille libre, on en déduit que le couple (!1, /2) forme une base
de (SH) espace vectoriel des solutions de l'équation homogène. Pour trouver une
solution particulière de l'équation différentielle, utilisons la proposition 27.10. Recherchons les couples d'applications >.1 et >.2 de classe C 1 sur l'intervalle I vérifiant
' x>.i(x) + x 2 >.~(x) = 0
>.i (x) + 2x>.~(x) = 2 (;fa+ x sinx)
{
>.i (x) + x>.~(x) = 0
{::::::::}' >.i(x) + 2x>.~(x) = 2 (;fa+ xsinx)
{
>.~(x) = 2 (~ + sinx)
{::::=}' >.i(x) = -2(;fa +xsinx)
{::::=}' >.2(x) =-;fa - 2cosx + K
À1(x) = ~ + 2x cosx - 2sinx + K'
où K et K' sont deux constantes réelles. Les solutions de l'équation différentielle
sur l'intervalle I = JR+* ou JR-* sont les applications y définies par
' où K et K' sont deux constantes réelles.