27.8. EXERCICES
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Recherchons maintenant sur les intervalles JR.+* et JR,-*, une solution linéairement
indépendante des précédentes. Effectuons le changement de variable
y= yoz
où l'application y0 est définie sur JR.+* ou JR,-* par
Yo(x) = sh(wx).
X
Alors
= z"xyo + z'(2xyb + 2yo).
L'application y est solution de l'équation différentielle si et seulement si l'application z' est solution de l'équation différentielle en Z :
xyoZ' + (2xyb + 2yo)Z = 0
{::::::::} Z' = - (2yb + ~) z.
Yo
x
Les solutions sont donc de la forme
in
1
K
K
Z(x) = Ke <"'Yo<"'» 2 = - - =
2
(xyo) 2
(shwx))
où K est une constante réelle. En prenant par exemple K = -w, recherchons une
application z vérifiant z'(x) = {sh:x)2 • Nous pouvons choisir par exemple
Nous obtenons ainsi la solution
( ) _ chwx
z x - shwx·
y(x) = chwx.
X
Les solutions de l'équation différentielle sont donc sur l'intervalle JR.+* ou JR,-* dela forme
~~
1
y(x) =; (Àshwx + µchwx) ~-:-..:--~-·
où À et µ sont deux réels.
Exercice 27.4 Résoudre l'équation différentielle :
x 2 y" - 2xy' + 2y = 2(1 + x 3 sinx).
On pourra chercher des solutions de l'équation homogène de la forme x i---+ xa où a
est un réel.