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ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES SCALAIRES D'ORDRE DEUX
Sous cette hypothèse R = +oo et
Vx E JR.+,
+CXJ (-1r
2n
f(x) = ao ~ ( 2 n)! (v'X) = aocosy'X,
Exercice 27.3 On considère un réel w. Résoudre l'équation différentielle :
xy" + 2y' - w 2 xy = 0
en cherchant d'abord les solutions développables en série entière.
Solution. On considère (an)n E N une suite réelle telle que la série entière L:n>o
admette un rayon de convergence R strictement positif et éventuellement infini.
On note f, l'application
f : ] - R, R[ - t lR.
X
Alors,
Vx E] - R, R[, xf"(x) + 2f'(x) -w 2 xf(x)
+CXJ
+CXJ
+CXJ
= Ln(n+l)an+iXn+ L2(n+l)an+iXn- 2:w 2 an-1Xn.
n=l
n=O
n=l
L'application f est solution de l'équation différentielle si et seulement si
{
ai= 0,
Vn 2:: 1,
w 2 an-1
an+l = (n+l)(n+2)
Sous cette hypothès~ .R = oo et
~{
VpE N,
VpEN,
a2p+1 = 0,
_
aow 2 P
a2p - ( 2p+l)!
Vx E IR.,
+CXJ (wx )2P+l
(wx)f(x) = ao ~ ( 2 p+ l)! = aosh(wx).
L'application f est une solution de l'équation différentielle si et seulement si il
existe un réel a0 vérifiant
{
f(O) = ao,
Vx i= 0, f (x) = ao sh~~x).