27.8. EXERCICES
La suite (an)neN vérifie le système (27.37) si et seulement si
{
ao = 0,
Vp;:::: 0,
Vp;:::: 1,
Sous cette hypothèse, nous avons
Vn;:::: 1,
Ainsi, sous cette hypothèse R = +oo. L'application f est solution sur~ si
(
+oo (-l)P-ix2p-i
+oo (-l)Px2P)
Vx E ~' f(x) = x a2 L ( 2 _ l)! +ai L ( 2 )!
p=i
p
p=O
p
= x (a2 sinx +ai cosx).
525
Sur chaque intervalle ~+* et ~-*, l'espace vectoriel des solutions est engendrée
par les applications x 1--t x sin x et x 1--t x cos x.
.ft
Exercice 27.2 Chercher les solutions de l'équation différentielle :
4xy" + 2y' + y = 0
développables en série entière.
Solution. On considère (an)n EN une suite réelle telle que la série entière Ln>o
admette un rayon de convergence R strictement positif et éventuellement infini.
On note f, l'application
f : J - R, R[ -+ ~
""+oo
n
X
i------t
Lm=O anX .
Alors,
Vx E] - R, R[, 4xf"(x) + 2f'(x) + f(x)
= L 4ann(n - l)xn-i + L 2annXn-i + L anXn
n~
n=i
n~
+oo
+oo
+oo
= L 4an+in(n + l)xn + L 2(n + l)an+iXn + L anxn.
n=i
n=O
n=O
L'application f est solution si et seulement si
{
2ai + ao = 0,
Vn;:::: 1, an+l = (2n+l)C2n+2)
{::::::::? Vn E N,