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ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES SCALAIRES D'ORDRE DEUX
27. 7 Résolution de l'équation (E)
Proposition 27.10 Soit (yi, Y2) un système fondamental de solutions de
l'équation homogène (H). Une application y E C 1 (J,IK) :
est solution de l'équation différentielle
(E)
y"+ a(t)y' + b(t)y = c(t),
si et seulement si le vecteur (À~ ( t), À~ ( t)) vérifie pour tout t E I :
{
À~Y1(t) + À~Y2(t) = 0,
À~y~(t) + À~y~(t) = c(t).
Preuve. Évident en utilisant les propositions 27.1 et 26.10.
27 .8 Exercices
Exercice 27.1 Résoudre l'équation différentielle :
x 2 y" - 2xy 1 + (x 2 + 2)y = 0
à l'aide des séries entières.
Solution. On considère (an)n E N une suite réelle telle que la série entière L:n>O
admette un rayon de convergence R strictement positif et éventuellement infini.
On note f, l'application
Alors,
f : ] - R, R[ - - t lR.
X
"""°'+oo
n
Lm=oanX .
Vx E] - R, R[, x 2 J"(x) - 2xf'(x) + (x 2 + 2)f(x)
+oo
+oo
+oo
+oo
= L n(n - l)anXn - L 2nanxn + L anxn+ 2 + L 2anxn
n=2
n=l
n=O
n=O
+oo
= L(n - l)(n - 2)anxn + L an-2Xn.
n=O
n=2
L'application f est solution de l'équation différentielle si et seulement si
{
ao = 0,
Vn 2: 3, an= (n-l)(n-2) ·
(27.37)