27.6. SOLUTIONS DE L'ÉQUATION (E)
27.5.2 Cas où l'on a une solution particulière
ne s'annulant pas sur 1
523
Proposition 27.8 Soit y1 une solution de l'équation homogène ne s'annulant
pas sur I. On obtient une autre solution linéairement indépendante par variation de la constante de la forme
Y2 = zy1,
où z est une application de classe C 2 sur I.
Preuve. Effectuons le changement de variable y2 = zy1. Nous obtenons
y~+ ay~ + by2 = z"y1 + z' (2y~ + ay1).
L'application y2 est solution de l'équation homogène (H) si et seulement si l'application z' est solution de l'équation différentielle :
y'y1 +y (2y~ + ay1) =O.
~y'= y (-2~~ - a) .
Nous savons, depuis le chapitre 25, que l'ensemble des solutions de cette équation
différentielle est un sous-espace vectoriel de dimension 1 de C 1 (J,JK). Soient a une
solution non nulle et t 0 un élement de I. On note zi, l'application définie par
Z1 :
I ----+ ][{
t t----> ft: a(x )dx.
L'application z1y1 est solution de l'équation homogène (H) et cette solution est
linéairement indépendante de la solution YI· En effet, d'une part, l'application z1
est non constante sur I et, d'autre part, l'application y1 ne s'annule pas sur cet
intervalle.
4' t
27.6 Solutions de l'équation (E)
On considère dans cette section l'équation
(E)
y" + ay' + by = c.
On note SE l'ensemble des solutions.
Proposition 27.9 L'ensemble SE est un sous-espace affine de dimension 2 de
(C 2 (J,IK),+,.) et dirigéparSH.
Preuve. D'après la proposition 27.2, l'ensemble des solutions SE est non vide.
Soit y0 une solution. Alors, une application y est solution de l'équation (E) si et
seulement si l'application (y -y0 ) est solution de l'équation homogène (H). D'où,
le résultat.
4' t