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ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES SCALAIRES D'ORDRE DEUX
Preuve. L'application cp est trivialement un homomorphisme d'espace vectoriel.
La proposition 27.2 indique que c'est un isomorphisme.
4'
Corollaire 27.5 L'espace vectoriel (SH, +, .) est de dimension 2.
Définition: Soit (y1, Y2) un couple de solutions de l'équation homogène.
On appelle wronskien de (yi, Y2) l'application w définie par :
w: I
t
][{
w (t) = 1 Y1(t)
y~ (t)
Y2(t)
y~(t)
Proposition 27.6 Pour tout réel to élément de I, on a
VtEJ, w(t)=w(to)e-f:oa(x)dx.
Preuve. Évident d'après les propositions 27.1 et 26.7, page 514.
Proposition 27. 7 Soit (y1, Y2) un couple de S H. Les 3 propositions suivantes
sont équivalentes :
1. (y1,Y2) est une base de SH.
2. il existe to E I tel que w(to) =J O.
3. Vt E J, w(t) =JO.
Preuve. Évident d'après les propositions 27.1 et 26.5, page 512.
27.5 Résolution de l'équation homogène
Il n'y a pas de méthode générale pour expliciter un système fondamental de
solutions. On pourra résoudre explicitement dans certains cas :
27.5.1 Recherche de solutions développables en série entière
Cette méthode convient en particulier lorsque les applications a et b sont polynomiales. On pourra voir, par exemple, l'exercice 18.10, page 331.