27.3. PROBLÈME DE CAUCHY
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27.3 Problème de Cauchy
Proposition 27.2 On considère trois applications a, b etc définies et continues sur intervalle I à valeurs dans IK, un élément to de I et (xo, x1) un élément
de IK 2 • Le système
{
y" + ay' + by = c,
y(to) = xo, y'(to) =xi,
(27.35)
admet une solution unique sur I.
Preuve. Une application y est solution du problème de Cauchy (27.35) si et
seulement si l'application ( ;, ) est solution du problème de Cauchy (27.36)
{
Y'=AY+B
Y(to) = ( :: ) .
(27.36)
Nous savons que ce problème admet une solution unique sous la forme ( ~~ ) .
L'application Y1 est alors l'unique solution du problème de Cauchy (27.35).
'9
27.4 Solutions de l'équation homogène
On considère, dans cette section, l'équation homogène
(H)
y"+ ay' + by =O.
On note SH l'ensemble des solutions.
Proposition 27.3 L'ensemble SH est un sous-espace vectoriel de l'espace vec-1
toriel (C 2 (J,IK),+,.).
Preuve. Évident.
Proposition 27.4 Si t0 est un élément de I, l'application cp définie sur SH à
valeurs dans IK 2 par
cp ; SH ----+ IK 2
y
t---+
(y(to), y'(to))
est un isomorphisme d'espace vectoriel.