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ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES SCALAIRES D'ORDRE DEUX
27 .2 Système du premier ordre équivalent
Dans cette section, A et B sont les applications, à valeurs respectivement dans
M 2 (lK) et lK 2 , définies sur I par
Vt E I, A(t) = ( -~(t) _:(t) ) et B(t) = ( O ) .
c(t)
Proposition 27.1 Une application de classe C 2 y : I---+ lK est solution de (E)
si et seulement si l'application de classe C 1 Y : I---+ lK 2 définie par
est solution du système
(SE)
Y' = AY +B.
Réciproquement, si Y : I ---+ lK 2 est une application de classe C 1 solution de
(SE) avec
alors
1. l'application y1 : I---+ ][{ est solution de (E) sur I,
2. l'application Y2 est la dérivée de l'application YI·
Preuve. Soit y une application solution de l'équation (E). Alors,
( y'(t) )
(
0
1 ) ( y(t) )
( 0 )
y"(t)
=
-b(t) -a(t)
y'(t)
+ c(t) ·
L'application ( ;, ) est solution de (SE)· Réciproquement, considérons Y
( ~: ) élément de C 1 (I,lK 2 ), solution de l'équation (SE)· Alors,
{
Vt E l, y~ (t) = Y2(t),
Vt E I, y~(t) = -b(t)y1(t) - a(t)y2(t) + c(t).
L'application y1 est solution de l'équation (E) et l'application Y2 est l'application
dérivée de l'application Y1.
4't