26.6. SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS LINÉAIRES À COEFFICIENTS CONSTANTS
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Proposition 26.12 Soient A un élément de Mn(OC) et (to, u0 ) un élément de
oc X ocn. L'unique solution du problème de Cauchy
est l'application Y définie par
Vt E ~. Y(t) = e(t-to)Au 0 .
Preuve. Voir l'exercice 19.4, page 346.
26.6.2 Résolution de l'équation (E)
Proposition 26.13 On considère l'équation
(E) Y' = AY + B,
où A est un élément de Mn (OC) et B une application continue sur un intervalle
I à valeurs dans ocn. Si t0 est un élément de I, les solutions de (E) sont les
applications Y vérifiant :
Vt El, Y(t) = 1t e(t-x)A B(x)dx + etAu,
to
où u est un élément quelconque de ocn.
Preuve. Effectuons le changement de variable
Vt E ~. Y(t) = éA Z(t).
Nous avons,
Vt E ~. Y'(t) = AetA Z(t) + etA Z'(t).
Ainsi,
Vt E ~. Y'(t) = AY(t) + B(t) {::} Vt E ~. etA Z'(t) = B(t)
{::} Vt E ~. Z'(t) = e-tAB(t).
L'application Y est solution si et seulement si il existe u un élément de ocn vérifiant
Vt E ~. Z(t) = 1t e-xA B(x)dx + u.
to
D'où le résultat.