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SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS LINÉAIRES
Proposition 26.10 Soient (Yi,··· , Yn) un système fondamental de solutions
de l'équation homogène (H) et >.i. >.2, · · · , Àn, n applications de classe C 1 sur
l'intervalle I et à valeurs dans K L'application
est solution de l'équation différentielle
(E)
Y'= AY +B
si et seulement si
(26.34)
i=l
où les applications >.i, >.~, · · · , >.~ sont les dérivées respectives des applications
À1,À2,··· ,Àn.
Preuve.
n
n
Vt E I, Y'(t) = L >.~(t)Yi(t) + L Ài(t)Yi'(t)
i=l
i=l
n
= L >.~(t)Yi(t) + A(t) L Ài(t)Yi(t) = L >.~(t)Yi(t) + A(t)Y(t).
i=l
i=l
i=l
L'application Y est solution de l'équation (E) si et seulement si
n
Vt E I, L >.~(t)Yi(t) = B(t).
i=l
26.6 Systèmes différentiels linéaires
à coefficients constants
26.6.1 Résolution de l'équation homogène (H)
Proposition 26.11 Soit A un élément de Mn(OC). Les solutions de l'équation
différentielle homogène
(H) Y'= AY
sont les applications
Y(t) = etAz,
où z est un vecteur arbitraire de ocn.
Preuve. Voir l'exercice 19.4, page 346.