26.5. SOLUTIONS DE L'ÉQUATION (E)
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Preuve. On note W le wronskien du système fondamental (Yi,··· , Yn)· On considère Y un élément de ci (I, ocn) (respectivement C 0 (I, ocn)) . Pour tout entier
naturel i compris entre 1 et n, on considère l'application Wi définie sur I par
Wi: I --+ lK
t 1-+ det (Yi(t), · · · , Yi-i(t), Y(t), Yi-i(t), · · · , Yn(t)).
Soit t un élément de I. Le scalaire W(t) étant non nul, le système d'équation
n
Y(t) = L XiYi(t)
i=i
est un système de Cramer. L'unique solution est
( Wi(t) W2(t) ... Wn(t))
W(t) ' W(t) '
' W(t) .
Pour tout entier i compris entre 1 et n, on considère l'application Ài définie sur
l'intervalle I par
t 1-+
Wi(t)
W(t)'
L'application Y s'écrit ainsi de manière unique
n
y= L:>.iYi·
i=i
De plus, pour tout entier i compris entre 1 et n, Àï est de classe ci (respectivement
c 0 ). En effet les applications Wi et W sont de classe ci (respectivement C 0 ),
l'application W ne s'annulant pas sur I.
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26.5 Solutions de l'équation (E)
Dans cette section, on considère A une application continue sur un intervalle I
à valeurs dans Mn(IK), l'équation homogène (H) : Y'= AY, SH l'espace vectoriel
des solutions de cette équation différentielle et B une application continue sur
l'intervalle I à valeurs dans ocn.
Proposition 26.9 L'ensemble des solutions de l'équation
Y'= AY +B.
(26.33)
est un espace affine dirigé par SH l'espace vectoriel des solutions de l'équation
homogène ( H).
Preuve. D'après le théorème de Cauchy-Lipschitz, l'ensemble des solutions est
non vide. On note Yo une solution. Alors Y est solution de (E), si et seulement si
(Y - Y0 ) est solution du système homogène (H). D'où le résultat.
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