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SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS LINÉAIRES
n
= Ldet(ui,· ·· ,uj,··· ,Aui,· ·· ,uk,···un)
i"'k
i=l
i"'j
+det (u1, · · · , Auk, · · · , Uj, ···Un)+ det (ui, · · · , Uk, · · · , Auj, ···un)
=0.
L'espace vectoriel des formes n-linéaires altenées est de dimension 1. Il existe donc
une constante C vérifiant
On note ( e1, · · · en) la base canonique de ocn. Pour tout entier naturel i compris
entre 1 et n, nous avons
det(e1 · · · Ae· · · · e ) =a· ·
,
,
i,
, n
i,i,
où ai,i est le terme de la ième ligne et de la ième colonne de la matrice A. On en
déduit que
n
i=l
L'application W vérifie ainsi l'équation différentielle Y' = Tr(A)Y.
Proposition 26. 7 Pour tout réel to élément de I, on a
Vt E I, w (t) = w (to) eftto Tr(A(x))dx.
Preuve. Évident d'après la proposition précédente.
Proposition 26.8 Soit (Y1, · · · , Yn) un système fondamental de solutions de
l'équation homogène (H): Y'= AY. Tout élément Y de C 1 (I, ocn) (respectivement c 0 (I,!Kn)) s'écrit de manière unique
n
Y= 2:>.iYi,
i=l
où pour tout entier i compris entre 1 et n, Ài est un élément de C 1 ( I, OC) ( respectivement c 0 ( I, ocn)).