26.4. WRONSKIEN
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On en déduit que Àl = · · · = Àn = 0 puis que la famille (Y1, · · · , Yn) est une
base de 81.
1 ::::} 3 Soit t un élément de I. On considère (Ài, · · · Àn) un élément de Kn
vérifiant
n
I: ÀiYi(t) =o.
i=l
Alors (l:~=l ÀïYi) est un élément de SH vérifiant 2:~ 1 ÀïYi(t) =O. Grâce à
l'unicité du problème de Cauchy, on en déduit que (l:~=l ÀïYi) = 0 puis que
Àl = · · · = Àn =O. La famille (Y1(t), · · · , Yn(t)) est ainsi libre et W(t) "::IO.
3 ::::} 2 Évident.
Proposition 26.6 L'application W est solution sur I de l'équation
différentielle :
Y' =Tr(A)Y.
Preuve. Considérons t un élément de I.
W(t) = det (Y1(t), Y2(t), · · · , Yn(t)).
Pour tout réel h tel que t + h appartienne à J,
W(t + h) = (Y1(t) + hY{(t) + he1(h), · · · , Yn(t) + hY~(t) + hen(h)),
où e1, e2, · · · , E:n sont des applications qui admettent une limite nulle lorsque la variable h tend vers O. Le déterminant étant une application n-linéaire, nous pouvons
développer :
n
W(t + h) - W(t) = h L det (Y1 (t), · · · , Yi-1 (t), Y/(t), Yi+i (t), · · · , Yn(t)) + he(h)
i=l
où e est une application qui admet une limite nulle lorsque la variable h tend vers
O. On en déduit que W est dérivable en t avec
n
W'(t) = Ldet(Y1(t),··· ,Yi-1(t),Yi'(t),Yi+i(t),··· ,Yn(t))
i=l
n
= Ldet(Y1(t),.·· ,Yi-1(t),AYi(t),Yi+i(t),··· ,Yn(t)).
i=l
Il est évident que l'application
cp:
est une forme n-linéaire. Montrons qu'elle est antisymétrique donc alternée. Considérons deux entiers j et k vérifiant 1 :::; j < k :::; n.