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SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS LINÉAIRES
L'application nulle étant également solution, on en déduit que
n
Y-Lail'i=O,
i=i
et que Y est combinaison linéaire de la famille (Yi , Y2, · · · , Yn).
Corollaire 26.4 Le triplet (SH,+,.) est un K-espace vectoriel de dimension
n.
Preuve. Évident d'après la proposition précédente.
Il
Définition: Une famille de solutions formant une base de SH est appelée
système fondamental de solutions.
26.4 Wronskien
Dans cette section, on considère A une application continue sur un intervalle
I à valeurs dans Mn(OC), l'équation homogène (H) : Y' = AY et SH l'espace
vectoriel des solutions de cette équation différentielle.
Définition : Soit (Yi, Y2, · · · , Yn), un n-uplet de solutions de l'équation
homogène (H). L'application W définie sur I par
Vt E J, W(t) = det(Yi (t), Y2(t), · · · , Yn(t))
est appelée wronskien du n-uplet de solutions (Yi, Y2, · · · , Yn)·
Proposition 26.5 Soit (Yi, · · · , Yn) un n-uplet de S H. Les 3 propositions suivantes sont équivalentes :
1. (Yi,··· , Yn) est une base de SH.
2. Il existe to un élément de I tel que W(to) "#O.
3. Vt E J, W(t) -:j:. O.
Preuve.
2::::} 1 Soit (Ài, · · · Àn) un élément de Kn vérifiant
n
L:>.iYi =o.
i=i
Ainsi,
n
L:: Àïl'i(to) =o.
i=i