26.3. SOLUTIONS DE L'ÉQUATION HOMOGÈNE (H)
511
Proposition 26.2 L'ensemble des solutions de l'équation différentielle homogène
Y'=AY
est un sous-espace vectoriel de C 1 (I,0Cn) que l'on notera SH.
Preuve. L'application
1/J: C 1 (J,][{n) ~ C(I,OCn)
Y
1----t
Y' - Ay
est linéaire. Son noyau est SH. Il est donc sous-espace vectoriel de C 1 (J,0Cn). -"
Proposition 26.3 On considère ( U1' U2' ... 'Un) une base de ocn et to un
élément de I. Pour tout entier naturel i inférieur ou égal à n, on note Yi
l'unique solution du problème de Cauchy,
{
Y' =AY,
Y(to) = ui.
Alors, (Yi, Y2, · · · , Yn) est une base SH.
Preuve. Considérons (>.1, >.2 , · • · , >.n) un élément de ocn vérifiant
n
.L:>-iYi =o.
i=l
Alors,
n
n
L Àiui = L ÀiYi(t0 ) =O.
i=l
i=l
( U1, U2, · · · , un) formant une base on obtient,
La famille (Y1, Y2, · · · , Yn) est ainsi libre. Montrons que (Y1, Y2, · · · , Yn) est une
famille génératrice. Soit Y un élément de S H. On note ( a1, a2, · · · , Œn) les coordonnées du vecteur Y(to) dans la base (ui, u2, · · · , un)· L'application
est l'unique solution du problème de Cauchy
{
Y'= AY,
Y(to) =O.