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SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS LINÉAIRES
- On a la propriété Po.
- Soit k un entier naturel. Montrons que Pk ::::} Pk+i · Pour tout réel t
élément de [a, b],
llefa~bJ (F1) (t) - e[a~ti (F2)(t) Il
= 111: A(x) ( e~,bJ(F1)(x) - 8fa,bJ(F2)(x)) dxll
:::; M 11: (Mlx k~ tol)k -llF1 - F2lloodxl
(Mit - tol)k+ 1
(k + l)! -llF1 - F2lloo·
Donc Pk ::::} Pk+i ·
Nous avons ainsi montré que
\:/k EN,
La suite réelle ( Mk(~~a)k) nEN étant convergente vers 0, nous pouvons
considérer un entier strictement positif k tel que e~,b] soit une application contractante. D'après le théorème 10.2, page 135, l'application
e[a,b] admet un unique point fixe et toute suite (e~,b)(F))nEN, où F
est un élément de C([a, b], ocn), converge uniformément sur [a, b] vers
l'unique point fixe de e[a,b]·
(b) On suppose désormais que I est un intervalle quelconque. On considère
F un élément de C(I, ocn). Pour tout segment [a, b] inclus dans I et
contenant to,
\:/n EN, \:/t E [a, b], 8j(F)(t) = e~,bJ(F)(t).
La suite (8j(F))nEN converge uniformément sur [a, b] vers l'unique
point fixe de e[a,b]· On en déduit que (8j(F))nEN converge simplement
sur I vers un point fixe de 8r que l'on notera G.
3. Unicité du point fixe.
Supposons que G1 et G2 soient deux points fixes de e I. Alors pour tout
segment [a, b] inclus dans I et contenant to, les restrictions de G1 et G2 à
ces segments sont égales à l'unique points fixe de e[a,bJ. On en déduit que
G1 = G2.
26.3 Solutions de l'équation homogène (H)
Dans cette section, on considère A une application continue sur un intervalle I
à valeurs dans Mn(IK).