26.2. THÉORÈME DE CAUCHY-LIPSCHITZ LINÉAIRE
509
En effet,
(a) Considérons Y un élément de C(I,OCn) solution de l'équation (26.32).
L'application définie par
f: I ---+ ocn
t ~ A(t)Y(t) + B(t)
étant continue sur I, l'application
F: I ---+ ocn
t ~ ft:(A(x)Y(x) + B(x))dx
est dérivable sur I de dérivée f. On en déduit que l'application Y,
solution de l'équation (26.32), est dérivable sur Ide dérivée f = AY +B.
L'égalité Y(t0 ) = u0 , permet d'en déduire que Y est solution de (26.31).
(b) Supposons Y solution du problème de Cauchy (26.31). D'après laremarque 26.1, Y est de classe C 1 sur I. Nous obtenons,
Vt E I, Y(t) = Y(to) + t Y'(x)dx = u0 + t (A(x)Y(x) + B(x))dx.
lto
lto
Ainsi, Y est solution de (26.32).
(c) On en déduit que Y est solution du problème de Cauchy (26.31) si et
seulement si Y est point fixe de l'application 8 r définie sur C ( l, ocn) à
valeurs dans C ( I, ocn) par :
\fF E C(I, ocn), \ft E I, 8r(F)(t) = uo + t (A(x)F(x) + B(x))dx.
lto
Montrons que l'application e I admet un point fixe unique.
2. Existence du point fixe.
(a) On suppose, dans un premier temps, que I est un segment [a,b]. On
choisit une norme sur ocn que l'on note 11-11· On munit C([a, b], ocn) de la
norme uniforme que l'on note 11-lloo· Nous savons que cet espace vectoriel
normé est complet (corollaire 16.5, page 271). On munit Mn(OC) d'un
norme d'algèbre notée 11-llMn(OC) et on considère M le réel
M = sup llA(t)llMn(OC)·
tE[a,b]
Soient F1 et F2 deux éléments de C([a, bj, ocn). Montrons par récurrence
que
\fk E N, \ft E [a, b],
k
k
(Mit - tol)k
ll81a,bJ(F1)(t) - 81a,bJ(F2)(t)ll ::;
k!
-llF1 - F2lloo·