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SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS LINÉAIRES
Définition :
1. On appelle solution de (E), équation différentielle linéaire d'ordre
1, toute application
Y : J ---t :ocn
t 1-----t Y(t)
dérivable sur l'intervalle 1 vérifiant
'Vt E J, Y'(t) = A(t)Y(t) + B(t).
2. Soit (t0 , u0 ) un élément de 1 x :ocn. On dit qu'une solution Y de
(E) vérifie la condition initiale (to, u0 ) ou condition de Cauchy si
de plus,
Y(to) = uo.
On appelle problème de Cauchy en (to, u0 ), l'étude des solutions de (E)
vérifiant cette condition initiale.
Remarque 26.1
1. Les applications A et B étant continues sur 1, toute solution y est de classe C 1 sur 1.
2. Si les applications A et B sont de classes Ck, alors toute solution Y est de
classe Ck+l.
3. Une équation différentielle linéaire du premier ordre est également appelée
système différentiel linéaire.
26.2 Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire
Théorème 26.1 {de Cauchy-Lipschitz linéaire) On considère A une application continue sur un intervalle 1 à valeurs dans Mn (OC), B une application
continue sur l'intervalle 1 à valeurs dans :ocn et (t0 , u0 ) un couple de 1 x :ocn.
Le problème de Cauchy
{
Y' =AY+B,
Y(to) = uo.
admet une solution unique définie sur 1.
Preuve.
(26.31)
1. Remarquons qu'une application Y est solution du problème de Cauchy (26.31)
si et seulement si elle est solution dans C(J, :ocn) de l'équation :
'Vt E J, Y(t) = uo + lt (A(x)Y(x) + B(x))dx.
to
(26.32)