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ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES SCALAIRES DU PREMIER ORDRE
et
Vt E] -1, 1(, (1- t2)y'(t) - ty(t)
= C'(t)Jl=t2 + t.C(t) _ t.C(t) = C'(t)Jl=t2.
v'f-=t2 v'f-=t2
L'application y est solution si et seulement si
On obtient,
Vt E] - 1, 1(, C'(t)= h· 1-t
(t) = arcsin t + ki
Vt E] - 1, 1(, y
v'f-=t2
où k1 est une constante réelle.
(b) Solutions de l'équation différentielle sur l'intervalle ]1, +oo(.
On utilise la méthode de la variation de la constante. On effectue le
changement de variable
Nous avons
et
t _ C(t)
y()-~·
,
C'(t)
t.C(t)
Vt E]l, +oo[, Y (t) = ~ - J(t2="1) 3
Vt E]l, +oo(, (1 - t 2 )y'(t) - ty(t)
= -C'(t)Jt2=1 + t.C(t) _ t.C(t) = -C'(t)Jt2=1.
~~
L'application y est solution si et seulement si
wt ]1
[ C'()
-l
vE,+oo,
t=~,
On obtient,
wt ]l
[
( )- -argcht+k2
v E , +oo , y t -
~
vt 2 -1
où k2 est une constante réelle.
(c) Solutions de l'équation différentielle sur l'intervalle] - oo, -1(. En effectuant les mêmes calculs que dans le cas précédent, nous obtenons
Vt E] - oo, -1(,
-1
C'(t) = ~· t -1
Ainsi, les solutions de l'équation différentielle sur l'intervalle] - oo, -1(
sont les applications définies sur ] - oo, -1 [ par
(t) = argch(-t) + k3
Vt E]-oo,-1[, y
~
où k3 est une constante réelle.