25.5. ÉQUATION : A(T)Y' + B(T)Y = C(T)
505
(c) Étudions le problème de raccordement en O. En utilisant le développement limité en 0 à l'ordre 3 de l'application arctangente, nous obtenons
t - arctant
t
rv -
t2
0 3
L'application Y1 solution de l'équation différentielle sur JR+* admet
une limite à gauche en 0 si et seulement si k1 = 0 et dans ce cas
limt_,o- Yi(t) = O. De même, l'application Y2 solution de l'équation
différentielle sur JR-* admet une limite à droite en 0 si et seulement si
k2 = 0 et dans ce cas limt_,o+ Y2(t) =O.
Une solution de l'équation différentielle sur lR doit donc vérifier :
Vt E IR*,
( )
t - arctan t
y t = --.,--t2
et y(O) =O. Nous remarquons que cette application est dérivable en 0 de
dérivée égale à! et que c'est l'unique solution de l'équation diférentielle
surR
Exercice 25.2 Résoudre l'équation différentielle suivante
(1 - t2)y' - ty = 1.
Solution.
1. On recherche les solutions de l'équation différentielle sur les intervalles ] -
oo, -1, [, J - 1, 1( et ]1, +oo(. On notera I l'un de ces intervalles.
Solutions de l'équation homogène :
(H) y' = 1 ~ t2 y.
L'application A : t 1-t -! ln Il - t 2 1 est une primitive sur l'intervalle I de
l'application a : t 1-t l~t2 • Ainsi, les solutions de l'équation homogène sur
chacun des intervalles J - oo, -1, [, J - 1, 1( et ]1, +oo( sont les applications
t 1-t J 0 2 où C est une constante.
11-t 1
(a) Solutions de l'équation différentielle sur l'intervalle J - 1, 1[.
On utilise la méthode de la variation de la constante. On effectue le
changement de variable
Nous avons
\:/t E] - 1, 1(,
C(t)
y(t) = Vf=t2"
I
C'(t)
t.C(t)
y (t) = vr=t2 + J[f=t2)3