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ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES SCALAIRES DU PREMIER ORDRE
3. On peut éventuellement faire l'étude de raccordement : celle-ci consiste à
rechercher les solutions sur l'intervalle I.
Exercice 25.1 Résoudre l'équation différentielle suivante puis étudier le problème de
raccordement.
Solution.
I
t
ty +2y=-1 2·
+t
1. On recherche les solutions de l'équation différentielle sur les intervalles IR+*
et IR-*. On notera I l'un de ces intervalles.
(a) Solutions de l'équation homogène :
-2
(H) y'= -t y.
L'application A : t 1-7 -2 ln ltl est une primitive sur l'intervalle I de
l'application a: t 1-7 ~ 2 • Ainsi, les solutions de l'équation homogène sur
chacun des intervalles IR+* et IR-* sont t 1-7 ~ où C est une constante.
(b) Solutions de l'équation différentielle. On utilise la méthode de la variation de la constante. On effectue le changement de variable
y(t) = c;;).
Nous avons
Vt E J, y'(t) = c'(t) _ 2c(t)
t2
t3
et
Vt E J, ty'(t) + 2 y(t) = c'(t) _ 2c(t) + 2c(t) = c'(t).
t
t 2
t 2
t
Ainsi, l'application y est solution sur I de l'équation différentielle si et
seulement si
Vt E J,
t2
c' ( t) = 1 + t2 .
Les solutions de l'équation différentielle sur l'intervalle IR+* sont de la
forme
Vt E IR+*,
(t) = t - arctan t + ki
Yi
t2
où k1 est une constante réelle. Les solutions de l'équation différentielle
sur l'intervalle IR-* sont de la forme
Vt E IR-*, y (t) = t - arctant + k2
2
t2
où k2 est une constante réelle.