25.4. PROBLÈME DE CAUCHY
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Solution. On utilise le principe de variation de la constante. On reprend le changement de variable utilisé dans la preuve de la proposition 25.1, définie par
Vt E I, Y(t) = C(t)eA(t).
L'application Y est solution de (E) si et seulement si :
Vt E I, C'(t).eA(t) + C(t)a(t)eA(t) = a(t)C(t)eA(t) + b(t)
{::} Vt E I, C'(t).eA(t) = b(t)
{::} Vt E I, C'(t) = e-A(tl.b(t).
{::} 3K E IK, Vt E I, C(t) = t e-A(xl.b(x)dx +K.
lto
D'où le résultat.
25.4 Problème de Cauchy
Étant donné une équation différentielle, le problème de Cauchy consiste à trouver les solutions de cette équation vérifiant une condition initiale. Dans le cadre
des équations étudiées dans notre chapitre, si l'on considère un intervalle I, deux
applications a et b continues sur I et (to, Yo) un élément de I x IK, un problème de
Cauchy s'écrit
{
y' = a(t)y + b(t),
y(to) = Yo·
(25.30)
Proposition 25.3 Il y a existence et unicité du problème de Cauchy {25.30}.
L'unique solution est déterminée par
Vt E I, Y(t) = (1: b(x)e-A(x)dx) eA(t) + y 0 eA(t)-A(to).
Preuve. Évident.
,
25.5 Equation : a(t)y' + b(t)y = c(t)
Remarque 25.2
1. On appelle également équation linéaire scalaire du premier
ordre, une équation de la forme
a(t)y' + b(t)y = c(t),
où a, b etc sont trois applications continues sur un intervalle I, la fonction
a ne s'annulant pas sur I.
2. Dans le cas où l'application a s'annulle sur I, on effectue l'étude de l'équation
différentielle sur chaque intervalle maximal inclus dans I et sur lequel l'application a ne s'annule pas.