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ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES SCALAIRES DU PREMIER ORDRE
25.2 Solutions de l'équation homogène (H)
L'application a étant continue sur I, elle admet des primitives sur cet intervalle.
Proposition 25.1 Soit A est une primitive de a sur l'intervalle I. On note SH
l'ensemble des solutions de l'équation linéaire homogène (H). Alors (SH, +, .)
est l'espace vectoriel de dimension 1 engendré par l'application
Yo : I ----t 1K
t f-----+ eA(t).
Preuve. Il est évident que S H est un sous-espace vectoriel des applications dérivables sur I à valeurs dans !K. On considère A une primitive de a. On peut vérifier
que l'application Y0 définie par
est solution de l'équation différentielle homogène. Pour trouver l'ensemble des
solutions, on va effectuer un principe de la variation de la constante : Pour toute
application Y dérivable sur I à valeurs dans IK, il existe une unique application C
dérivable sur I vérifiant
Vt E J, Y(t) = C(t)eA(t).
On a
Vt E J, Y'(t) = C'(t).eA(t) + C(t)a(t)eA(t).
Ainsi, Y est solution de l'équation homogène si et seulement si
Vt E J, C'(t).eA(t) + C(t)a(t)eA(t) = a(t)C(t)eA(t)
{::} Vt E J, C'(t).eA(t) = O
{::}î/tEJ, C'(t)=O.
L'application Y est solution si et seulement si l'application C est constante. D'où
le résultat. ·
•
25.3 Solutions de l'équation (E)
Proposition 25.2 Soit to un élément de I. Les solutions de (E) sont les applications Y définies par
Vt E J, Y(t) = (1: b(x)e-A(x)dx) eA(t) + KeA(t),
où K est une constante scalaire.