24.6. MÉTHODES DE GAUSS
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Proposition 24.11 Soit p un entier naturel. Il existe une méthode exacte
d'intégration et une seule de la forme {24.29} à (p+ 1) points, d'ordre (2p+ 1).
Elle est obtenue en choisissant pour points les (p + 1) racines du polynôme
orthogonal Pp+l pour le poids w.
Preuve.
1. Existence. Nous savons que la méthode de Gauss est d'ordre {2p + 1). Elle
n'est pas d'ordre (2p + 2). En effet,
lb P;+l (t)w(t)dt > 0 et
p
L>.iP;+i(ai) =O.
i=O
2. Unicité. Considérons (p + 1) points
Xo < X1 < · · · < Xp
et (p + 1) réels µo, µi, · · · , µp tels que
rb
~
VP E ~2p+i[X], Ja P(x)w(x) = L.....JµiP(xi)·
a
i=O
Soit Qp+l le polynôme de degré (p + 1) défini par
Alors,
p
Vx E ~. Qp+i(X) =II (X - xi)·
i=O
VP E ~p[X], < P, Qp+l >=lb P(t)Qp+i(t)w(t)dt
p
= L µiP(xi)Qp+l (xi) = O.
i=O
On en déduit que les polynômes Pp+l et Qp+l appartiennent à l'orthogonal
de ~p[X] dans ~p+i[X]. Ils sont donc colinéaires. D'où,
Vi E {O, 1, · · · ,p}, ai= Xi·
D'autre part, si, pour tout entier i compris entre 0 et p, on note li le ième
polynôme de lagrange, alors