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CALCUL DE VALEURS APPROCHÉES D'UNE INTÉGRALE
est un produit scalaire sur l'espace C([a, b], R.). On notera (Pn)nEN la suite des
polynômes orthogonaux relatifs à ce produit scalaire (voir la définition page 367).
Le but .des méthodes de Gauss est d'obtenir des valeurs approchées de
lb f(x)w(x)dx
où f est une application continue sur le segment [a, b].
24.6.2 Méthodes exactes
On sait, d'après la proposition 20.24, page 368, que, pour tout entier naturel
p, le polynôme orthogonal Pp+1 a (p+ 1) racines simples appartenant à l'intervalle
]a, b[, notées
ao < a1 < · · · < ap.
Proposition 24.9 Il existe un unique (p + 1)-uplet de réels Ào, Ài, · · · Àp
vérifiant
rb
f..
't:/P E IR.p[X], la P(x)w(x)dx = ~ ÀiP(ai)·
a
i=O
Preuve. Il suffit d'appliquer le théorème 24.5, page 488.
Cette méthode est d'ordre (2p + 1). En effet,
Proposition 24.10
't:/P E IR.2p+i[X), lb P(x)w(x)dx = t ÀiP(ai)·
a
i=O
Preuve. Soit Q un élément de IR.2p+1 [X]. Effectuons la division euclidienne du
polynôme Q par le polynôme orthogonal Pp+l :
Q = QiTp+i + R,
où Rest un élément de IR.p[X]. Le polynôme Q1 est aussi élément de IR.p[X] puisque
le degré de Q est inférieur ou égal à (2p + 1).
Nous avons,
Le polynôme Pp+l étant orthogonal au sous-espace IR.p[X] donc au polynôme Qi,
nous obtenons,
lb Q(t)w(t)dt =lb Qi(t)Pp+i(t)w(t)dt +lb R(t)w(t)dt