24.5. MÉTHODES DE NEWTON-COTES
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Méthode composée des trapèzes
Soit N un entier strictement positif. On effectue sur le segment [a, b] une subdivision à pas constant
b-a
h=Jïi·
Sur chaque segment [a+~ (b - a), a+ k·j/ (b - a)], où k est un entier compris
entre 0 et (N -1), on applique la méthode élémentaire des trapèzes. On approxime
I(f) = lb f(t)dt
par
TN(f) = b; a [ f~a) +}; f (a+ k b; a) + f;b) l
Si f est de classe C 2 , on a
II(!) - TN(f)I :::; (~;;t sup lf"(t)i.
tE[a,b]
24.5.3 Méthode de Simpson
Pour cette méthode, p = 2 et, d'après la proposition 24.8, la méthode est
d'ordre 3.
Méthode élémentaire de Simpson
On considère un segment [a, b]. Le système interpolateur est S = {a, ~, b}.
Nous savons d'après la proposition 24. 7 et la remarque 24.2 que,
{
Ào + Ài + À2 = (b - a),
Ào = À2·
En utilisant encore la remarque 24.2, nous pouvons calculer par exemple Ài car
Ài =lb li(t)dt,
où li est le polynôme élémentaire de Lagrange de degré au plus deux vérifiant
{
li(a) = li(b) = 0,
li (a!b) = 1.
Nous obtenons ainsi
't:/t E .IR,
4
li(t) = (b _ a) 2 (t - a)(b - t)
et
rb
rb 4
2(b-a)
Ài =la li(t)dt =la (b- a)2 (t - a)(b- t)dt = 3 ,