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CALCUL DE VALEURS APPROCHÉES D'UNE INTÉGRALE
i
p-i
=a+ -(b- a)+ a+ - ( b - a) - a - b =O.
p
p
Donc,
Vi E { 0, 1, · · · , Œ -1)}, P(xi) = -P(xp-i)·
De plus, X~ = atb et p (X~) =o. Nous obtenons
p
~-1
L ÀiP(xi) = À~P ( x~) + L Ài (P(xi) + P(xp-i)) =O.
i=O
i=O
D'autre part,
1
b
1
b (
a+ b)p+l
[ (t _ a+b)P+ 2 ] b
P(t)dt =
t - - -
dt=
2
=O.
a
a
2
p+2
a
La méthode est ainsi de rang (p + 1).
24.5.2 Méthode des trapèzes
Pour cette méthode p = 1 et la méthode est d'ordre 1.
Méthode élémentaire des trapèzes
On considère un segment [a,b]. Le système interpolateur est alors S = {a,b}.
Les deux réels )..0 et )..1 vérifient le système
{
Ào + À1 = b - a,
Ào = À1.
Ainsi, pour tout polynôme P de degré au plus 1, on a
I(P) = 1b P(t)dt = (b; a) (P(a) + P(b)).
À toute application continue f sur (a, b], on associe Lf son polynôme interpolateur
de Lagrange aux points a et b et on approxime
I(f) = 1b f(t)dt
par
T(f) = (b; a) (!(a)+ f(b)).
Le noyau de l'interpolation est N(x) =(X - a)(X - b).
[b IN(t)I dt= [b(t - a)(b- t)dt = (b- a)
3 .
la
la
6
D'après le corollaire 24.4, si f est de classe C 2 , on a
fb f(t)dt -T(f)I ~ (b ~ 2 a) 3 sup lf"(t)I.
L
~~~