24.5. MÉTHODES DE NEWTON-COTES
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Preuve. Pour tout entier i compris entre 0 et p, on note li, le polynôme élémentaire
de Lagrange, unique polynôme de degré au plus p vérifiant
Nous savons que
Vi E {O, 1, · · · ,p}, lb li(t)dt = Ài·
On note cp la symétrie centrale sur lR par rapport au point atb, c'est-à-dire,
cp: lR - - t lR
t 1--+ a+b-t
Nous remarquons que, pour tout entier i compris entre 0 et p, (li o cp) est un
polynôme de degré au plus p. De plus,
On en déduit que
li 0 cp = lp-i·
Pour tout entier i compris entre 0 et p, en effectuant le changement de variable
(x = a+ b - t), nous obtenons
Proposition 24.8 Si p est un entier naturel pair, l'ordre de la méthode de
Newton-Cotes est (p + 1).
Ceci fait que, hormis le cas p = 1, les méthodes de Newton-Cotes ne sont utilisées
que pour p pair.
Preuve. Soit p un entier naturel strictement positif pair. Montrons que la méthode
de Newton-Cotes est d'ordre (p+ 1). Il suffit pour cela de vérifier qu'elle est exacte
pour un polynôme de degré (p + 1). Choisissons le polynôme P défini par
P: lR - - t lR
t 1--+ (t - atb)P+l.
On remarque que
Vi E { 0, 1, ... 'Œ- 1)}' (X . - a+ b) + (x · - a+ b) = x· + x · - a - b
i
2
p-i
2
i
p-i