24.4. MÉTHODES DES RECTANGLES ET DU POINT MILIEU
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Le noyau de l'interpolation est N(t) = (t - a).
lb IN(t)I dt= lb (t - a)dt = (b ~ a)
2 .
Si f est de classe ci, on a, d'après le corollaire 24.4,
ll
b f(t)dt - R(f)I ::; (b - a)
2 sup lf'(t)I.
a
2
tE[a,b]
Méthode composée des rectangles
Soit N un entier strictement positif. On effectue sur le segment [a, b] une subdivision à pas constant
b-a
h =--y:[•
Sur chaque segment [a+~ (b - a), a+W (b - a)], où k est un entier compris entre
0 et (N - 1), on applique la méthode élémentaire des rectangles. On approxime
I(f) =lb f(t)dt
par
Si f est de classe ci, on a
II(!) - RN(f)I::; (b ;;)
2 sup IJ'(t)I.
tE[a,b]
24.4.2 Méthode du point milieu
Méthode élémentaire du point milieu
Cette méthode est d'ordre 1. Nous considérons un segment [a, b] et nous
prenons p =O. Le système interpolateur est réduit au point x0 = a!b. D'après la
remarque 24.2, Ào = (b - a). Pour tout polynôme P de degré 0, on a
I(P) =lb P(t)dt = (b - a)P (a; b) .
On remarque que, contrairement au cas précédent, pour tout polynôme P de degré
au plus 1 (il suffit de le vérifier pour le polynôme X f--+ X), on a également
I(P) = lb P(t)dt = (b - a)P (a; b) .
La méthode du point milieu est d'ordre 1. À toute fonction continue f sur [a, b],
on associe Hf son polynôme interpolateur l'entier 2. On approxime
I(f) =lb f(t)dt
par
( a+b)
PM(!)= (b- a)f - 2 -
.