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CALCUL DE VALEURS APPROCHÉES D'UNE INTÉGRALE
interpolateur. L'intégrale de f sur [a, b] est alors approximée par l'intégrale du polynôme interpolateur. Si f est suffisamment régulière, on pourra majorer l'erreur
à l'aide de la majoration (24.28) du corollaire 24.4. Ainsi, on approche :
I(f) = 1b f(t)dt par
p
z= >-jf(xj)·
j=O
Les coefficients >.0 , Ài, · · · , Àp étant ceux indiqués dans le corollaire (24.6). Cette
méthode est exacte pour toutes les fonctions polynômes de degré inférieur ou égal
àp.
Il
Définition : On dit qu'une méthode élémentaire est d'ordre psi elle est
exacte sur ~p[X].
24.3.2 Méthodes composées
Soit f une fonction continue sur un segment [a, b]. Pour obtenir des valeurs
approchées de
1b f(t)dt,
on effectue une subdivision à pas constants du segment [a, b]. On choisit un entier
N strictement positif. Sur chaque segment de la forme
k
k+l
[a+ N(b-a),a+JV(b-a)]
où k est un entier compris entre 0 et (N - 1), on utilise une méthode élémentaire.
Nous remarquerons, plus loin, que si l'application f est suffisamment régulière, la
suite des approximations d'une méthode composée converge vers l'intégrale de f
sur le segment [a, b] lorsque N tend vers +oo.
24.4 Méthodes des rectangles et du point milieu
24.4.1 Méthode des rectangles
Méthode élémentaire des rectangles
Cette méthode est d'ordre O. Nous considérons un segment [a, b] et nous
prenons p = O. Le système interpolateur est réduit au point x0 = a. D'après la
remarque 24.2, >.0 = (b - a). Pour tout polynôme P de degré 0, on a
I(P) = 1b P(t)dt = (b - a)P(a).
À toute fonction continue f sur [a, b], on associe L1 son polynôme interpolateur
de Lagrange au point a et on approxime
l(f) = 1b f(t)dt par R(f) = (b- a)f(a).