24.3. MÉTHODES ÉLÉMENTAIRES ET COMPOSÉES
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On considère pour tout entier naturel i inférieur ou égal à p, l'élément de 1Rp[X]
noté Qi défini par
p
'v'x E :IR, Qi(x) = II (x - Xj)·
j=O
;,H
Alors, pour tout entier i compris entre 0 et p, nous avons
Ainsi,
p
p
I>kôk(Qi) =ai II (xi - Xj) =O.
k=O
j=O
;,H
'v'i E {O, 1, 2 · · · ,p}, ai= O.
La famille (ôk)o::;k::;p est donc une base du dual de 1Rp[X].
On obtient ainsi une méthode exacte.
Corollaire 24.6 Soient xo, x1 · · · , Xp (p+l) réels distincts. Il existe un unique
(p + 1 )-uplet de réels Ào, À1, · · · , Àp tel que :
[b
-f..
'v'P E lRp[X], la P(t)dt =Li ÀjP(xj)·
a
j=O
Preuve. Évident d'après le théorème précédent.
Remarque 24.2 Le problème principal est alors de trouver les coefficients réels
(>.i)o::;i::;p- D'une part, on remarque en choisissant le polynôme constant et égal à
1 que
D'autre part,
p
Z:>. 3 =b-a.
j=O
'v'i E {O, · · · ,p}, lb li(t)dt = Ài,
où les (li)o::;i::;p sont les polynômes élémentaires de Lagrange.
24.3 Méthodes élémentaires et composées
24.3.1 Méthodes élémentaires
On considère f une application continue sur un segment [a, b]. Le but est la recherche de valeurs approchées de l'intégrale de f sur le segment [a, b]. On considère
un entier naturel pet on introduit un système interpolateur S = {xo,x1 · · · ,xp}
de (p+ 1) points du segment [a, b]. On effectue alors pour l'application f une interpolation de Lagrange ou