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CALCUL DE VALEURS APPROCHÉES D'UNE INTÉGRALE
On obtient À= JCn>~~a). En remplaçant dans l'expression initiale,
n.
Vx E J, 9a(x) = f(x) - H(x) - N(x)f(n)~Ça).
n.
Pour x = a, on obtient le résultat désiré.
Corollaire 24.4 Sous les hypothèses du théorème précédent, si a et b sont
deux éléments de I vérifiant a< b, on a
Il f (t)dt - l H(t)dtl :5 SUP
24.2 Méthodes exactes sur ~p[X]
Soient p un entier naturel et [a, b] un segment. Dans IRp[X], l'application qui
à un polynôme P associe J: P(t)dt est une forme linéaire. Si xo, X1 • · · , Xp sont
(p + 1) réels distincts, on peut écrire cette forme linéaire en fonction des formes
linéaires Ôj : P --t P(xj)· En effet :
Théorème 24.5 Soient p un entier naturel, IRp[X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré au plus p et xo, X1 · • • , Xp (p + 1} réels
distincts. On note pour tout entier k compris entre 0 et p, Ôk la forme linéaire
sur IRp[X] qui au polynôme P associe P(xk)· Alors le (p + 1)-uplet
(ôo, ôo, · · · , ôp)
forme une base de l'espace dual de IRp[X].
Preuve. Pour tout entier naturel k inférieur ou égal à p, notons Ôk la forme linéaire
définie sur IRp[X] par
Montrons que (ôk)o::;k:;p forme une base du dual de IRp[X]. Celui-ci étant de dimension (p+ 1), il suffit de montrer que la famille (ôk)o:;k:;p est libre. Considérons
(ak)o:;k:;p un (p + 1)-uplet de réels vérifiant
CALCUL DE VALEURS APPROCHÉES D'UNE INTÉGRALE
On obtient À= JCn>~~a). En remplaçant dans l'expression initiale,
n.
Vx E J, 9a(x) = f(x) - H(x) - N(x)f(n)~Ça).
n.
Pour x = a, on obtient le résultat désiré.
Corollaire 24.4 Sous les hypothèses du théorème précédent, si a et b sont
deux éléments de I vérifiant a< b, on a
Il f (t)dt - l H(t)dtl :5 SUP
24.2 Méthodes exactes sur ~p[X]
Soient p un entier naturel et [a, b] un segment. Dans IRp[X], l'application qui
à un polynôme P associe J: P(t)dt est une forme linéaire. Si xo, X1 • · · , Xp sont
(p + 1) réels distincts, on peut écrire cette forme linéaire en fonction des formes
linéaires Ôj : P --t P(xj)· En effet :
Théorème 24.5 Soient p un entier naturel, IRp[X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré au plus p et xo, X1 · • • , Xp (p + 1} réels
distincts. On note pour tout entier k compris entre 0 et p, Ôk la forme linéaire
sur IRp[X] qui au polynôme P associe P(xk)· Alors le (p + 1)-uplet
(ôo, ôo, · · · , ôp)
forme une base de l'espace dual de IRp[X].
Preuve. Pour tout entier naturel k inférieur ou égal à p, notons Ôk la forme linéaire
définie sur IRp[X] par
Montrons que (ôk)o::;k:;p forme une base du dual de IRp[X]. Celui-ci étant de dimension (p+ 1), il suffit de montrer que la famille (ôk)o:;k:;p est libre. Considérons
(ak)o:;k:;p un (p + 1)-uplet de réels vérifiant