24.1. INTERPOLATION POLYNOMIALE
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est le polynôme
Exercice 24.1 On considère une fonction f à valeurs réelles définie sur un intervalle I
et dérivable en un point x 1 élément de I et H le polynôme d'interpolation d'Hermite
de f relatif aux point X1 affecté de l'entier a1 = 2. On note CH et Ct les courbes
représentatives de l'application polynomiale H et de la fonction f dans le plan euclidien
muni d'un repère. Que représente CH pour Ct?
Solution. CH est la tangente à la courbe Ct au point d'abscisse x1.
24.1.2 Majoration de l'erreur d'interpolation
Théorème 24.3 En reprenant les notations du théorème 24.2, si l'on suppose
que f est de classe en sur l'intervalle I alors
\:/a E I, 3Ça E I, f(a) - H(a) = iN(a)f(n)(Ça)·
n.
où
k
N(x) = IT(x - xi)°'ï.
i=l
N est appelé noyau de l'interpolation.
Preuve. Soit a un élément de I. Le résultat est évident si a appartient à l'ensemble
{x1, · · · , xk}. Sinon, définissons la fonction 9a par,
\:/x E J, 9a(x) = f(x) - H(x) - >.N(x),
où À est l'unique réel tel que a soit un zéro de 9a· Pour tout entier i compris entre
1 et k, le réel Xi est zéro de 9a de multiplicité ai. On en déduit que 9a admet
k
1+ Lai= n+ 1
i=l
zéros en comptant les ordres de multiplicité. D'après le second théorème de Rolle
8.12, page 105, la dérivée nième de 9a admet au moins un zéro. Notons Ça l'un
d'entre eux. Or,
Ainsi,