IR.n-l [X] et IR.n étant de même dimension, l'application

application définie sur I à valeurs réelles. L'unique polynôme L vérifiant
\fi E {1,. .. ,n}, L(xi) = f(xi)·
est le polynôme Théorème 24.2 Soient I un intervalle réel et k un entier naturel strictement
positif. On considère x1,···Xk, k points distincts de I et 0:1,·· ·ak, k entiers
naturels strictement positifs. Étant donné une application numérique f définie
sur I admettant des dérivées d'ordre (ai -1) aux points Xi, il existe un unique
polynôme H de degré au plus n - 1 (avec n = 0:::::= 1 o:i)) vérifiant
Ce polynôme H est appelé polynôme d'interpolation d'Hermite de l'application
f relativement aux points X1, · · · Xk et aux entiers 0:1, · · · O:k.
Remarque 24.1 Le polynôme d'interpolation de Lagrange d'une fonction f relatifs aux points xi,··· Xk est le polynôme d'interpolation d'Hermite relatifs aux
points x1, · · ·Xk et aux entiers ai (1 ~ i ~ k) tous égaux à 1.
Preuve. Considérons l'application Psi définie par,
W: 1Rn-1[X] --+ JR.n
P
1---t
(P(x1), · · · p(ai-l)(x1), · · · ,P(xk), · · · p(ak-l)(xk)).
Cette application est linéaire. Nous remarquons qu'un élément P de 1Rn-ifX] appartient au noyau de Il! si et seulement si il est multiple du polynôme
k
R = Il(X - Xi)°'i.
i=l
Ce polynôme étant de degré n, le seul élément de 1Rn_1(X] multiple de R est
le polynôme nul. L'application Il! est ainsi injective. Les deux espaces vectoriels
1Rn-l [X] et IR.n étant de même dimension, l'application Il! est bijective. Soit f une
application définie sur I à valeurs réelles. L'unique polynôme H vérifiant